Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Im Folgenden wird das Wetter-Problem mit Hilfe der vorgestellten Regeln gelöst. Eine Erklärung dieser Regeln befindet sich auch noch einmal im Modul Genetik und Wahrscheinlichkeitsbäume .

Lösung mit einem Baum

	Der Baum mit allen bekannten Wahrscheinlichkeit.
	Der Baum des Umkehrproblems mit der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit.
	Wir wenden die Definitionsgleichung der bedingten Wahrscheinlichkeit an.
	Der Zähler kann mit Hilfe des Multiplikationssatzes berechnet werden...
	der Nenner wird mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit berechnet.
	Der Quotient ist das gesuchte Ergebnis.

Wie bereits angemerkt sind Produktsatz und Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ja nichts anderes als algebraische Ausdrücke der Pfadregeln. Von daher ist klar, dass man die Verwendung der Regeln in diesem Beispiel direkt durch Verwendung der Formeln ersetzen kann. Wir erhalten dann folgenden Rechenweg:

Rechnerische Lösung

	Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis R unter der Bedingung V berechnet sich wie folgt :
	Wir wenden (wie oben schon) die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit an.
	Auf den Zähler lässt sich die Produktregel anwenden...
	...und den Nenner kann man mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit auflösen.

Dieses Vorgehen lässt sich auch verallgemeinern auf den Fall einer Zerlegung des Ereignisraumes in n Ereignisse $B_{1}$ , $B_{2}$ ,..., $B_{n}$ . Dann gilt folgender Satz (die Bayessche Formel):

Bayessche Formel

Sei $\Omega$ Ereignismenge, $B_1, B_2, ..., B_n$ vollständige Ereignisdisjunktion und $A$ ein beliebiges Ereignis mit $P(A) > 0$ . Dann gilt:

$\begin{equation*} \displaystyle P(B_k \; | \; A) = \frac{P(A \; | \; B_k) \cdot P(B_k)}{\sum_{i=1}^n P(A \; | \; B_i) \cdot P(B_i)} \end{equation*}$

Ein Schnelltest auf eine Ziegenhaar-Allergie habe die Eigenschaft, bei einer allergischen Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 Prozent und bei einer nicht allergischen Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent die richtige Diagnose zu liefern.
Es sei bekannt, dass 0.05 Prozent der Bevölkerung an dieser Allergie leiden. Zu berechnen ist:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit reagiert eine zufällig ausgewählte Person tatsächlich allergisch, wenn das Ergebnis des Tests "Positiv" lautet ?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit reagiert eine zufällig ausgewählte Person tatsächlich nicht allergisch, wenn das Ergebnis des Tests "Negativ" lautet ?

Wir betrachten die Ereignisse
A: "Person leidet an Allergie".
T: "Test zeigt Allergie an".
Dabei bilden die Personengruppen "allergisch" und "nicht allergisch" die geforderte Ereignisdisjunktion.

zur 2. Frage

Wir behandeln aber zunächst die zweite Fragestellung. Im folgenden können sie die Anwendung der Bayesschen Formel nachvollziehen:

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein negatives Testergebnis zutreffend ist, ist so gut wie eins. Wenn der Schnelltest bei einer Testperson also keine Allergie anzeigt, so ist es extrem unwahrscheinlich, dass diese doch allergisch gegen Ziegenhaare ist.

zur 1. Frage

In der ersten Fragestellung ist nach $P(A \; | \; T)$ gefragt. Mit Hilfe der Bayesschen Formel erhält man:

$\displaystyle P(A \; | \; T) = \frac{P(T \; | \; A) \cdot P(A)}{P(T \; | \; A) \cdot P(A) + P(T \; | \; \bar{A}) \cdot P(\bar{A})}$

Trage nun die passenden Werte in die Formel ein. Halte dabei die Reihenfolge ein, die durch die obenstehende Formel vorgegeben ist. Wenn alles richtig ist, erscheint das Ergebnis, auf drei Nachkommastellen gerundet. Zur Erinnerung stehen hier nochmal die gegebenen Werte:

Wahrscheinlichkeit, dass bei vorhandener Allergie 'positiv' getestet wird: 0.98
Wahrscheinlichkeit, dass bei nicht vorhandener Allergie 'negativ' getestet wird: 0.99
Anteil allergischer Personen an der Gesamtbevölkerung: 0.0005

Verblüfft? Auf der nächsten Seite erfährst du, warum das scheinbar überraschende Ergebnis doch recht einleuchtend ist.

a)	krumme Beine hat,
b)	zu dick ist,
c)	krumme Beine hat und nicht zu dick ist?