Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Nachdem du dieses Modul durchgearbeitet hast, wollen wir dir die Lösung des Ziegenproblems nicht vorenthalten. Um systematisch vorgehen zu können, benennen wir zunächst die bekannten und gesuchten Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten. Es sei

$A_i$ : Auto steht hinter Vorhang i, i=1,2,3

$M_i$ : Moderator öffnet Vorhang i, i=1,2,3

Da die Nummerierung der Vorhänge beliebig ist, nehmen wir folgendes an:

der Kandidat wählt Vorhang 1.

der Moderator öffnet Vorhang 3.

Somit muss sich der Kandidat zwischen Vorhang 1 und Vorhang 2 entscheiden.

Zu vergleichen sind nun $P(A_1 \; | \; M_3)$ und $P(A_2 \; | \; M_3)$ .

Nach der Bayesschen Formel gilt:

Wir können nun Schritt für Schritt die bereits bekannten Wahrscheinlichkeiten in die Formel einsetzen (eingesetzte Werte werden rot hervorgehoben):

	Das Auto steht mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter jedem der drei Vorhänge
	Wenn das Auto hinter Vorhang 1 steht, wählt der Moderator mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen den Vorhängen 2 und 3.
	Wenn das Auto hinter Vorhang 2 steht, kann der Moderator nur Vorhang 3 öffnen, da er auf jeden Fall eine Ziege zeigt.
	Der Moderator enttarnt nicht den Gewinn, er öffnet also nicht Vorhang 3, wenn dort das Auto steht.

Ausgerechnet ist das:

$\displaystyle P(A_1 \; | \; M_3) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$

$\displaystyle P(A_2 \; | \; M_3) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$

Dieses Ergebnis entspricht den in der Simulation beobachteten Werten. Wechselt der Kandidat den Vorhang, so verdoppelt er seine Gewinnchance im Vergleich zum zuerst Gewählten.

a)	krumme Beine hat,
b)	zu dick ist,
c)	krumme Beine hat und nicht zu dick ist?

a)	Wie hoch ist insgesamt die Durchfallquote?
b)	Aus den Teilnehmern an dem Test wird eine Person zufällig ausgewählt, von der bekannt ist, dass sie durchgefallen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie von der ersten, zweiten bzw. dritten Schule?