Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Jetzt die andere Richtung

Eine wichtige Anwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit ist die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für Und-Ereignisse, also das gleichzeitige Eintreten von zwei oder mehr Ereignissen. Durch Umstellen der Definitionsgleichung der bedingten Wahrscheinlichkeit erhält man den Multiplikationsatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten:

Multiplikationssatz

Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt:

$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$

Anmerkung: Dieser Satz (und die im weiteren vorgestellte allgemeine Form) wird in manchen Lehrbüchern auch Produktregel genannt.

Angewendet auf das Urnenbeispiel gilt damit

$P(R \cap r)$	$= P(R \,\| \,r) \cdot P(r)$	$= 1 \cdot 1/3$	$= 1/3$	,
$P(R \cap g)$	$= P(R \,\| \,g) \cdot P(g)$	$= 1/2 \cdot 1/3$	$= 1/6$
$P(R \cap b)$	$= P(R \,\| \,b) \cdot P(b)$	$= 1/2 \cdot 1/3$	$= 1/6$

Bei folgender Aufgabe kannst du diese Regel anwenden:

Zum Selberrechnen

Die erste Pfadregel

"Diese Rechnung kommt mir seltsam bekannt vor..." mag jetzt wohl mancher denken. Tatsächlich ist der Multiplikationssatz eigentlich nur eine algebraische Form der ersten Pfadregel, welche im Modul Genetik und Wahrscheinlichkeitsbäume erklärt ist.

Bei mehr als zwei Ereignissen lässt sich der Multiplikationssatz iterativ anwenden. Dieses Vorgehen ist im Folgenden für drei Ereignisse dargestellt:

	Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten dreier Ereignisse $A_{1}$ , $A_{2}$ und $A_{3}$ .
	Man setze $A := A_{3}$ und $B := A_{2} \, \cap \, A_{1}$
	... und wende die Produktregel für $A$ und $B$ an.
	Der erste Faktor bleibt stehen...
	...auf den zweiten kann erneut die Produktregel angewendet werden.

Die mehrmalige Anwendung für n Ereignisse liefert die allgemeine Produktregel:

allgemeiner Multiplikationssatz

$\begin{array}{ll} P(A_n \, \cap \, A_{n-1} \, \cap \, ... \, \cap \, A_1)\; = & P(A_n \, | \, A_{n-1} \, \cap \, ... \cap \, A_{1}) \cdot P(A_{n-1} \, | \, A_{n-2} \, \cap ... \cap \, A_{1})\\ & \cdot \, ... \, \cdot P(A_3 \, | \, A_2 \, \cap \, A_1) \cdot P(A_2 \, | \, A_1) \cdot P(A_1) \end{array}$

a)	krumme Beine hat,
b)	zu dick ist,
c)	krumme Beine hat und nicht zu dick ist?

a)	Wie hoch ist insgesamt die Durchfallquote?
b)	Aus den Teilnehmern an dem Test wird eine Person zufällig ausgewählt, von der bekannt ist, dass sie durchgefallen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie von der ersten, zweiten bzw. dritten Schule?