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Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Totale Wahrscheinlichkeit

Jetzt die andere Richtung

Die Wahrscheinlichkeit für Oder-Ereignisse, also das "alternative Eintreten" von zwei oder mehr Ereignissen erhält man durch den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Setzt sich das Ereignis A zusammen aus den sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen \(A \cap B_1\) und \(A \cap B_2\), so gilt

\(P(A) = P(A\;|\;B_1) \cdot P(B_1) + P(A\;|\;B_2) \cdot P(B_2)\)

Angewendet auf das Urnenbeispiel gilt damit



\(P(R \cap r)\)  \(= P(R \; | \; r) \cdot P(r)\)  \(= 1 \cdot 1/3\)    \(= 1/3\)            ,
\(P(R \cap g)\)  \(= P(R \; | \; g) \cdot P(g)\)  \(= 1/2 \cdot 1/3\)    \(= 1/6\)
\(P(R \cap b)\)  \(= P(R \; | \; b) \cdot P(b)\)  \(= 1/2 \cdot 1/3\)    \(= 1/6\)

also \(P(R) = P(R \cap r) + P(R \cap g) + P(R \cap b) = 1/3 + 1/6 + 1/6 = 2/3\)



Für die Verallgemeinerung des Satzes benötigen wir die Definition der vollständigen Ereignisdisjunktion.

Vollständige Ereignisdisjunktion

Eine vollständigen Ereignisdisjunktion liegt vor, wenn wir den gesamten Ergebnisraum eines Zufallsexperiments in sich gegenseitig ausschließende Ereignisse zerlegen.
Jedes Elementarereignis ist in genau einem Ereignis der Zerlegung enthalten.
Die mathematisch korrekte Definition sieht wie folgt aus:

Sei \(\Omega\) Ereignismenge. Die Ereignisse \(B_1, B_2, ..., B_n\) bilden eine (totale) Ereignisdisjunktion, wenn gilt:

  1.  \(B_i \cap B_j = \emptyset\)  für alle   \(i \neq j\)
  2.  \(P(B_i) > 0\)   für alle   \(i\)
  3.  \(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} B_i = \Omega\)

Beispiele für solche Zerlegungen sind die Einteilung nach Feldern gleicher Farbe beim Roulette oder einer Dartscheibe.

Mit einer solchen Zerlegung gewinnen wir eine neue Darstellung für ein beliebiges Ereignis A aus der gleichen Ergebnismenge:

Sei \(B_{1}\),\(B_{2}\),...,\(B_{n}\) eine vollständige Ereignisdisjunktion. Aus der Vollständigkeit der Zerlegung folgt, dass jedes Elementarereignis aus A in einem der \(B_{i}\) enthalten ist. Es gilt also:

\(\displaystyle A = \bigcup_{i=1}^n (A \cap B_i)\)

Um die Wahrscheinlichkeit P(A) zu erhalten, können wir die Wahrscheinlichkeiten der an der Vereinigung beteiligten Und-Ereignisse aufaddieren. Weil die \(B_{i}\) paarweise disjunkt sind, zählen wir dabei kein Ereignis mehrfach.

\(\displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \cap B_i)\)

Die Anwendung des Multiplikationssatzes auf jeden der Summanden liefert schließlich den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

\(\displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \; | \; B_i) \cdot P(B_i)\)

Bei folgender Aufgabe kannst du diese Regel wieder selber anwenden: